■パラメータ解(その27)

[1]三角数n(n+1)/2

[2]四角数n^2=n(2n−0)/2

[3]五角数n(3n−1)/2

[4]六角数n(4n−2)/2

[5]七角数n(5n−3)/2

[6]八角数n(6n−4)/2

[1]1,3,6,10,15,21,28,・・・

[2]1,4,9,16,25,36,49,・・・

[3]1,5,12,22,35,51,79,・・・

[4]1,6,15,28,45,66,91,・・・

[5]1,7,18,34,55,81,112,・・・

[6]1,8,21,40,65,96,133,・・・

 上の表を縦に見ると等差数列になっていて,公差は三角数である.横方向の階差をとってみると,三角数では自然数,四角数では奇数,五角数では4,7,10,13,・・・(公差3の等差数列),六角数では5,9,13,17,・・・(公差4の等差数列))になっている.

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【1】五角数と三角数

 五角数1,5,12,22,35,・・・,Pn=n(3n−1)/2については,五角数の和が

  ΣPk=n^2(n+1)/2

となること,三角数との関係では

  Pn=T2n-1−Tn-1,Pn=T3n-1/3

となることは高校生でも計算できるだろう.

 五角数に限らず,m角数を図形的に考えてみると,m角形にn−1番目の三角数Tn-1=(n−1)n/2個の点からなる三角形を追加して作ることができるから

  n+(m−2)Tn-1=1/2・n・{2+(m−2)(n−1)}

と考えることができる.したがって,三角数との関係は五角数に特別のものではない.

 m=5とおくと,

  Pn=1/2・n・{2+3(n−1)}=n(3n−1)/2

  T2n-1−Tn-1=2n(2n−1)/2−n(n−1)/2=Pn

  T3n-1/3=3n(3n−1)/6=Pn

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【2】六角数と三角数

 m=6とおくと,

  Hn=1/2・n・{2+4(n−1)}=n(4n−2)/2=2n^2−n

 三角数の3番目が六角数の2番目,三角数の5番目が六角数の3番目,三角数の7番目が六角数の4番目であること,すなわち,六角数は三角数をひとつ置きにとったものであることを示している.それと同時に3角数であり6角数であるものは無限に存在することもわかるだろう.完全数は六角数であるから,三角数でもあるといえる.

  Hn=T2n-1=n(2n−1)

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[3]1,5,12,22,35,51,79,・・・

[4]1,6,15,28,45,66,91,・・・

  T2n-1−Tn-1=2n(2n−1)/2−n(n−1)/2=Pn

  Hn=T2n-1=n(2n−1)

  Hn−Pn=Tn-1 (公差Tn-1)

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