■パラメータ解(その25)

[1]3角数であり平方数であるものは無限に存在します.

(証明)1/2y(y+1)=x^2,すなわち,

  (2y+1)^2−2(2x)^2=1

をみたす自然数の組(x,y)が無限にあることいえばよい.

 自然数an,bnを(1+√2)^n=an+bn√2によって定義すると,

  an^2−2bn^2=(an+bn√2)(an−bn√2)

         =(1+√2)^n(1−√2)^n=(−1)^n

また,(1+√2)^nの展開を考えると,

  an=1+(偶数),bn=n+(偶数)

よって,nを偶数にとるとan^2−2bn^2=1,anは奇数,bnは偶数.

そこで,y=(an−1)/2,x=bn/2とおくと,

  (2y+1)^2−2(2x)^2=1

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 自然数an,bnを(1+√3)^n=an+bn√3によって定義すると,

  an^2−3bn^2=(an+bn√3)(an−bn√3)

         =(1+√3)^n(1−√3)^n=(−2)^n

また,(1+√3)^nの展開を考えると,

  an=1+(3の倍数),bn=n+(3の倍数)

よって,nを3の倍数にとるとan^2−3bn^2=???となって,右辺が定まらない.

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[まとめ]この原因は

  Z(√2)={±(1+√2)^n}

が精密に成り立つのに対して,

  Z(√3)={±(2+√3)^n}

となるためである.

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