■パラメータ解(その24)

[1]三角数n(n+1)/2

[2]四角数n^2=n(2n−0)/2

[3]五角数n^2=n(3n−1)/2

[4]六角数n(4n−2)/2

[5]七角数n(5n−3)/2

[6]八角数n(6n−4)/2

[1]1,3,6,10,15,21,28,・・・

[2]1,4,9,16,25,36,49,・・・

[3]1,5,12,22,35,51,79,・・・

[4]1,6,15,28,45,66,91,・・・

[5]1,7,18,34,55,81,112,・・・

[6]1,8,21,40,65,96,133,・・・

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  y(y−1)/2=(2x^2−x),すなわち,

  (y−1/2)^2−1/4=4(x−1/4)^2−1/4

  (4y−2)^2−16=4(4x−1)^2−16

  (4y−2)^2−4(4x−1)^2=0

  (2y−1)^2−(4x−1)^2=0,y=2x

は三角数の3番目が六角数の2番目,三角数の5番目が六角数の3番目,三角数の7番目が六角数の4番目であること,すなわち,六角数は三角数をひとつ置きにとったものであることを示している.それと同時に3角数であり6角数であるものは無限に存在することもわかるだろう.

 また,上の表と縦に見ると等差数列になっていて,公差は三角数である.横方向の階差をとってみると,三角数では自然数,四角数では奇数,五角数では4,7,10,13,・・・(公差3の等差数列),六角数では5,9,13,17,・・・(公差4の等差数列))になっている.

 さらに,正方形の形に四数を選び,斜め同士をかけてその差をとる.たとえば

  12・28−22・15=6

  18・40−34・21=6

となって,三角数になる.パスカルの三角形におけるダビデの星定理に相当するものであろう.

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