■パラメータ解(その23)

 (その16)の問題

[Q]3角数であり6角数であるものは無限に存在するか?

は,六角数は三角数をひとつ置きにとったものであることを示している.

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(証明)y(y−1)/2=(2x^2−x),すなわち,

  (y−1/2)^2−1/4=4(x−1/4)^2−1/4

  (4y−2)^2−16=4(4x−1)^2−16

  (4y−2)^2−4(4x−1)^2=0

  (2y−1)^2−(4x−1)^2=0

をみたす自然数の組(x,y)が無限にあることいえばよい.

 自然数an,bnを(1+√4)^n=an+bn√4によって定義すると,

  an^2−4bn^2=(an+bn√4)(an−bn√4)

         =(1+√4)^n(1−√4)^n=(−3)^n

また,(1+√4)^nの展開を考えると,

  an=1+(4の倍数),bn=n+(4の倍数)

よって,nを4の倍数にとるとan^2−3bn^2=???となって,右辺が定まらない.

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