■パラメータ解(その16)

[1]3角数であり5角数であるものは?

[2]3角数であり6角数であるものは?

[3]3角数かつ5角数かつ6角数であるものは?

おそらく無限に存在すると思われる.(その15)に倣って調べてみよう.

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[1]3角数であり5角数であるものは無限に存在するか?

(証明)y(y−1)/2=(3x^2−x)/2,すなわち,

  (y−1/2)^2−1/4=3(x−1/6)^2−1/12

  (6y−3)^2−9=3(6x−1)^2−3

  (6y−3)^2−3(6x−1)^2=6

をみたす自然数の組(x,y)が無限にあることいえばよい.

 右辺を1にするためには,

  {(6y−3)/√6}^2−3{(6x−1)/√6}^2=1

にしなければならないが,

  (6y−3)^2−3(6x−1)^2=6

のまま続行してみる・・・

 自然数an,bnを(1+√3)^n=an+bn√3によって定義すると,

  an^2−3bn^2=(an+bn√3)(an−bn√3)

         =(1+√3)^n(1−√3)^n=(−2)^n

また,(1+√3)^nの展開を考えると,

  an=1+(3の倍数),bn=n+(3の倍数)

よって,nを3の倍数にとるとan^2−3bn^2=???となって,右辺が定まらない.

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[2]3角数であり6角数であるものは無限に存在するか?

(証明)y(y−1)/2=(2x^2−x),すなわち,

  (y−1/2)^2−1/4=4(x−1/4)^2−1/4

  (4y−2)^2−16=4(4x−1)^2−16

  (4y−2)^2−4(6x−1)^2=0

をみたす自然数の組(x,y)が無限にあることいえばよい.

 自然数an,bnを(1+√4)^n=an+bn√4によって定義すると,

  an^2−4bn^2=(an+bn√4)(an−bn√4)

         =(1+√4)^n(1−√4)^n=(−3)^n

また,(1+√4)^nの展開を考えると,

  an=1+(4の倍数),bn=n+(4の倍数)

よって,nを4の倍数にとるとan^2−3bn^2=???となって,右辺が定まらない.6角数は3角数であるからである

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