■パラメータ解(その14)

 一般に

  Σa^s=Σb^s

のパラメータ解は,

[1]2≦s≦4,m=2

[2]5≦s≦6,m=3

のときに得られている.

 フィボナッチの等式

  (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac−bd)^2+(ad+bc)^2

  (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad−bc)^2

あるいは,ピタゴラス三角形のパラメータ解

  a=k(m^2−n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)

を使って,4平方和問題

  (a^2+b^2+c^2+d^2)(p^2+q^2+r^2+s^2)=x^2+y^2+z^2+w^2

の別のパラメータ解を求めることはできないものだろうか? すなわち,s=2,m>2である.

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 たとえば,

x=ap+bq+cr+ds,

y=aq−bp+cs−dr,

z=ar−bs−cp+dq,

w=as+br−cq−dp

において,c=d=0,r=s=0とおくと,

x=ap+bq,y=aq−bp,z=0,w=0

となって,フィボナッチの等式

  (a^2+b^2)(p^2+q^2)=(ap+bq)^2+(aq−bp)^2

が得られる.

 ここで,a=q,b=pとおくと,右辺は

  (2ab)^2+(a^2−b^2)^2=(a^2+b^2)^2

しかし,左辺も(a^2+b^2)^2となって,恒真命題.

x=ap+bq+cr+ds,

y=aq−bp+cs−dr,

z=ar−bs−cp+dq,

w=as+br−cq−dp

において,q=r=s=0とおくと,

x=ap,y=−bp,z=−cp,w=−dp

となって,これも恒真命題

  (a^2+b^2+c^2+d^2)・(p^2)=(a^2p^2+b^2p^2+c^2p^2+d^2p^2)=(p^2)・(a^2+b^2+c^2+d^2)

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 d=0,s=0では

x=ap+bq+cr,y=aq−bp,z=ar−cp,w=br−cq

となって,

  (a^2+b^2+c^2)・(p^2+q^2+r^2)=(ap+bq+cr)^2+(aq−bp)^2+(ar−cp)^2+(br−cq)^2

あまり見慣れない式が得られる.

  (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=u^2+v^2+w^2

の形にしたければ,

たとえば,

ar−cp=2mn

br−cq=m^2−n^2

となるようにしたいが,b=r,c=qではar−cp=0となってしまう.

ap+bq+cr=2mn

br−cq=m^2−n^2では,ap+bq+cr=ap+2bcとばって,さらに,a=0またはp=0が要求される.

 d=0,s=0,p=0とすると

x=bq+cr,y=aq,z=ar,w=br−cq

  (a^2+b^2+c^2)・(q^2+r^2)=(bq+cr)^2+(aq)^2+(ar)^2+(br−cq)^2

b=r,c=qとおくと,右辺は

(2bc)^2+(aq)^2+(ar)^2+(b^2−c^2)^2=(b^2+c^2)^2+(ac)^2+(ab)^2

左辺は(a^2+b^2+c^2)・(b^2+c^2)となって,これも恒真命題.

恒真命題しか得られない状況にある.

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