■パラメータ解(その7)

 辺が相続く整数列1,2,3,4,5,・・・の大きさの異なる正方形による正方形充填問題について考えてみることにします.

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 1^2+2^2+3^2+・・・+24^2

=24(24+1)(2・24+1)/6

=70^2

 級数の公式:Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6をご存じの方も多いでしょうが,1からnまでの平方の和が平方数となるのはnが1か24の場合しかありません.25平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題(1873年)として知られています.

 y^2=x(x+1)(2x+1)/6の唯一自明でない整数解は(24,70)で,それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています.

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 上記の問題を立方体に拡張することははるかに難しくなりますが,次に,たくさんの小立方体を立方体に詰め込む問題について考察してみましょう.最初のn個の立方数の和は平方数になります

  Σk^3={n(n+1)/2}^2

 フィボナッチはこれを次のように証明しました.

1^3=1,2^3=3+5,3^3=7+9+11,4^3=13+15+17+19,5^3=21+23+25+27+29,・・・

また,最初のn個の奇数の和は1+3+5+・・・+(2n−1)=n^2,最初のn項までに現れる奇数の全項数は1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2

よって,

  1^3+2^3+3^3+・・・+n^3={n(n+1)/2}^2=(1+2+3+・・・+n)^2

が示されます.三角数とはm(m+1)/2の型の自然数のことと定義すると,任意の立方数は2つの三角数の平方数の差と表されることがわかります.すなわち,y^3={y(y+1)/2}^2−{y(y−1)/2}^2がこの証明の根拠となっていることが理解されます.

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 1^3+2^3+3^3+・・・は完全平方数ですが,はたして,この数は立方数になりうるでしょうか.

1^3+2^3+3^3+・・・=1(1^2)+2(2^2)+3(3^2)+・・・

より,この関連問題は,ある1つの正方形を1辺1の正方形1個,1辺2の正方形2個,1辺3の正方形3個,以下同様・・・,によって充填する問題といい換えてもよいのですが・・・.

 また,1からはじめなくてもよければ,

  3^2+4^2=5^2 ,18^2+19^2+・・・+28^2=77^2 ,

  3^3+4^3+5^3=6^3,11^3+12^3+13^3+14^3=20^3

など連続した平方(立方)数の和が平方(立方)数となることはあるのですが,y^3={x(x+1)/2}^ にx=1,y=1以外の自明でない整数解はあるのでしょうか?

 P=x(x+1)/2が立方数P=Q^3であれば

  1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=P^2=Q^3

なのですが,実は,x=1を除きx(x+1)/2は立方数にはならないことが示されます.

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