ベルヌーイ数が，整数論にとって欠かすことができない存在なのは，ゼータ関数との関係にその理由があり，リーマンのゼータ関数

　　ζ(s)＝Σ１／ｎ^s＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

とベルヌーイ数との間には，次の公式が成り立ちます．

　　Π１／（１−ｐ^(-2m)）＝ζ(2m)＝Ｂm／２・（２π）^(2m)／（２ｍ）！

　また，どんなＢn／ｎの約数にもならない素数は正則素数と呼ばれるのですが，与えられた素数ｐの正則性を確かめるためには，クンマーの合同式により，

　　１≦ｎ≦（ｐ−１）／２

について，Ｂnの分子を調べればよいことになります．

　１８５０年，クンマーはどんなＢn／ｎの分子の約数にもならない素数（正則素数）をベキ指数とする場合に，フェルマーの最終定理を証明して以来，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となりました．（クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立することを示したのですが，正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂkの分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．）

　Ｂn／ｎを既約分数で表したときの分母を求めることは，１８４０年，クラウゼンとフォン・シュタウトの定理により，厳密に求めることが容易になったのですが，Ｂn／ｎの分子はｎに対して急激に増加するため，計算はずっと難しかしくなります．

　以下に，ｎが小さいときの表を掲げておきますが，

　　Ｂn／ｎの分子＞Ｂn／ｎ＞４／√ｅ（ｎ／πｅ）^(2n-1/2)

より，

　　（ｎ／πｅ）^(2n)

のオーダーとなりますから，ｎ＞πｅ＝８．５３９・・・のとき，分子は急激に大きくなることが示されます．

　　ｎ　　Ｂn／ｎの分子　　ｎ　　Ｂn／ｎの分子

　≦５　　　　1　　　　　　９　　　　 43867

　　６　　　691　　　　　　10　　　　174611

　　７　　　　1　　　　　　11　　　　 77683

　　８　　 3617　　　　　　12　　 236364091

　この分子の値は，平行化可能な多様体の境界となるエキゾチック（４ｎ−１）次元球面の微分同相からなる群が，位数

　　２^(2n)（２^(2n-1)−１）・Ｂn／ｎの分子

の巡回群であることから，微分トポロジーの研究者の注意を引くものとなっていたのですが，Ｂ7の分子が７で割り切れることが，ミルナーがエキゾチック球面の証明に用いた方法に繋がったのです．

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