■ベルヌーイ数（その２）
リーマン・ゼータ関数の偶数における特殊値は
ζ(2n)＝２^(2n-1)π^2nＢn／（２ｎ）！
となる．ここでＢnはｎ番目のベルヌーイ数を指していて，ベルヌーイ数の最初のいくつかを書くと，
Ｂ1＝１／６
Ｂ2＝１／３０
Ｂ3＝１／４２
Ｂ4＝１／３０
Ｂ5＝５／６６
Ｂ6＝６９１／２７３０
Ｂ7＝７／６
Ｂ8＝３６１７／５１０
である．
ここで，Ｂn／ｎの分子を求めてみると
ｎ Ｂn／ｎの分子
１ 1
２ 1
３ 1
４ 1
５ 1
６ 691
７ 1
となる．Ｂ5，Ｂ7のは１となったのに対して，Ｂ6の分子は６９１となり，６で割り切れないことに注目してほしい．
これ以降，分子は急激に大きくなって
ｎ Ｂn／ｎの分子
８ 3617
９ 43867
10 174611
11 77683
12 236364091
したがって，６９１だけが残された形になる．
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【１】クンマーの定理
フェルマーの問題『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない．』は，ｎ＝１のときにはｘ＋ｙ＝ｚという単なる足し算ですから，ｘとｙにどんな自然数を入れても自然数ｚは必ず存在します．ｎ＝２の場合はピタゴラス方程式：ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2ですから，解は無限にあることがわかります．ｎ＝４の場合は，フェルマー自身が無限降下法という一種の背理法を用いて０と１の中間に整数が存在するという矛盾を導き出すことによって証明が与えられました．
指数が３以上のフェルマー方程式については，ｎ＝３の場合はオイラー（１７７０年），ｎ＝５の場合はディリクレとルジャンドル（１８２５年），ｎ＝７の場合はラメ（１８３９年）によって証明が与えられ，それ以上のｎについては素数の場合だけを調べればよいのですが，初等的な方法では手続きが急速に複雑になって行き詰まりこれ以上進むことに限界がありました．
個々のｎに対して攻略する時代はこれで終わり，あとは一般的なｎに対する攻略の道筋にまったく新しい方向性と理論を見いだす必要があったのですが，最大のブレークスルーは１８５１年，クンマーによってなされました．
クンマーは円分体の整数論の研究に専念し，
(1)２≦ｋ≦ｐ−３なるすべての偶数ｋについて，有理数ζ(k)／π^kの分子がｐで割れない
(2)円分体Ｑ（ζp）の類数（イデアル類群の元の個数）がｐで割れない
は同値で，
(3)Ｑ（ζp）の類数がｐで割れなければ，ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pを満たす自然数ｘ，ｙ，ｚは存在しない
ことを示したのです．
正則素数ｐはＢp-3 までのベルヌーイ数Ｂk の分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，クンマーの定理によって正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立すること，たとえば，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．
非正則素数は無限に多く存在し，６９１も非正則素数のひとつです．そして，クンマーの定理を精密化したもの（詳しく正確にいったもの）は岩澤理論と呼ばれています．
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［注］文献によってはＢ2kとしていることもあるので注意が必要です．たとえば，
「ベルヌーイ数とは，ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）
＝１＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・
＝ΣＢn ｘ^n／ｎ！
によって定義される有理数で，ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）は数列｛Ｂn｝の指数型母関数になっています．」と書かれている場合は，奇数番目を飛ばさずに定義されているため，Ｂ1＝−１／２で，
ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）−Ｂ1／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅｘｐ(x)＋１）／（ｅｘｐ(x)−１）
は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2＝１／６，Ｂ4＝−１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８，・・・
あとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．数論の本では，ベルヌーイ数の定義としてこれを採用しているものが多いのですが，この場合，よく知られた公式は，
Ｂ2k＝(-1)^(k-1)・２（２ｋ）！／（２π）^2k・ζ(2k)
と表されます．
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