１^3+５^3+３^3=１５３

のように

１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝ａ^3+ｂ^3+ｃ^3となる数を３ナルシシスト数，

１０^3ａ＋１０^2ｂ＋１０ｃ＋ｄ＝ａ^4+ｂ^4+ｃ^4＋ｄ^4となる数を４ナルシシスト数，

１０^4ａ＋１０^3ｂ＋１０^2ｃ＋１０ｄ＋ｅ＝ａ^5+ｂ^5+ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5となる数を５ナルシシスト数という．

　ｎナルシスト数（ナルシシスト数）はｎ≦６０のときしか存在しない．また，ナルシスト数（ナルシシスト数）は全部で８８個あることが証明されている．

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　それに対して，

　　５＋１＋２＝８

　　５１２＝８^3

のように

　　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）^3

の解は「デュドニー数」と呼ばれている．

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　さらに似たような数として「ミュンヒハウゼン数」がある．

　ナルシスト数は各桁の数をｎ乗した値

　　１^3+５^3+３^3=１５３

であったが，ミュンヒハウゼン数は各桁の数を累乗した値を使う．

　　３^3+４^4＋３^3＋５^5=３４３５

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　　３^3+４^4＋３^3＋５^5=３４３５

　　ａ^a+ｂ^b＋ｃ^c＋ｄ^d＝１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ

１≦ａ，ｂ，ｃ，ｄ≦９

ｍａ＝ｍａｘ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝，ｍｉ＝ｍｉｎ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝とすると、

ｎ桁のミュンヒハウゼン数は最小値〜ｎ・ｍｉ^mi，最大値〜ｎ・ｍａ^ma

右辺は最小値〜１０^n-1，最大値〜１０^n

　　ｎ・ｍａ^ma＜１０^n-1またはｎ・ｍｉ^mi＞１０^nを満たすとき，ｎ桁のミュンヒハウゼン数は存在しない．

　　ｍａｌｏｇ10ｍａ＜ｎ−１−ｌｏｇ10ｎ，

　　ｍｉｌｏｇ10ｍｉ＞ｎ−ｌｏｇ10ｎ

　これより，｛ａ，ｂ，ｃ，・・・｝については

ｎ＝２のとき，２−４　　　ｎ＝６のとき，５−７

ｎ＝３のとき，３−５　　　ｎ＝７のとき，６−８

ｎ＝４のとき，３−５　　　ｎ＝８のとき，７−８

ｎ＝５のとき，４−６　　　ｎ＝９のとき，７−９

が考える対象になることがわかる．

　解の存在範囲を絞り込みをしているので計算ははすぐ終わるが，自明なものは除き，６桁までの範囲でミュンヒハウゼン数は存在しないことがわかった．

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10桁の数999999999について考えると

９^9=387420489

より

10・9^9＝3874204890＜9999999999

したがって、10・9^9＝387420489よりも小さい数のなかだけにしかミュンヒハウゼン数がないことがわかる。

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実はこのような性質をもつ数は（自明な１を除けば）３４３５しかない。

０^0＝１であるが、特別に０^0＝０と定義したとしても（自明な０と１を除けば）

３４３５と

４３８５７９０８８＝４^4+３^3+８^8+５^5+７^7+９^9+０^0+８^8+８^8

しかない。

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