■ナルシシスト数とその仲間達(その11)

  3^3+4^4+3^3+5^5=3435

  a^a+b^b+c^c+d^d=1000a+100b+10c+d

1≦a,b,c,d≦9

ma=max{a,b,c,d},mi=min{a,b,c,d}とすると、

n桁のミュンヒハウゼン数は最小値〜n・mi^mi,最大値〜n・ma^ma

右辺は最小値〜10^n-1,最大値〜10^n

  n・ma^ma<10^n-1またはn・mi^mi>10^nを満たすとき,n桁のミュンヒハウゼン数は存在しない.

  malog10ma<n−1−log10n,

  milog10mi>n−log10n

 これより,{a,b,c,・・・}については

n=2のとき,2−4   n=6のとき,5−7

n=3のとき,3−5   n=7のとき,6−8

n=4のとき,3−5   n=8のとき,7−8

n=5のとき,4−6   n=9のとき,7−9

が考える対象になることがわかる.

 解の存在範囲を絞り込みをしているので計算ははすぐ終わるが,自明なものは除き,6桁までの範囲でミュンヒハウゼン数は存在しないことがわかった.

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