■三角形公式集(その90)

 モーリーの三角形の1辺の長さは,

  8R・sinα/3・sinβ/3・sinγ/3

で与えられます.

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 三角形ABCに対応するモーリーの三角形をPQRとする.7つのコンパートメントの面積を求める方がいいのかもしれないが,まずずΔARQについて計算してみたい.

 Δに正弦定理を適用すると

 AR/sin(β/3)=c/sin(π−(α+β)/3)=c/sin((α+β)/3)

 c=2Rsinγであるから

  AR=2Rsinγ・sinβ/3/sin((α+β)/3)

=2Rsinγ・sinβ/3/sin((π−γ)/3)

=8Rsinγ/3・sinβ/3・sin((π+γ)/3)

 同様に

 AQ=8Rsinγ/3・sinβ/3・sin((π+β)/3)

ΔARQに余弦定理を適用すると

  RQ^2=64R^2sin^2γ/3・sin^2β/3{sin^2((π+γ)/3)+sin^2((π+β)/3)−2sin((π+γ)/3)sin((π+β)/3)cosα/3}

 ここで,

{sin^2((π+γ)/3)+sin^2((π+β)/3)−2sin((π+γ)/3)sin((π+β)/3)cosα/3}=sin^2α/3が示されるので,

  8R・sinα/3・sinβ/3・sinγ/3

 

これはα,β,γに関して対称であるから,モーリーの定理が示されたことになる.

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