アレクサンドリアのヘロンは三角形の辺の長さがわかっていれば、どんな三角形の面積でも求められる公式を発見した。

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【１】ヘロンの公式

３辺の長さがａ，ｂ，ｃの三角形の面積をΔとすると，

（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，ヘロンの公式が得られます．

辺の長さが１３，１４，１５の三角形の面積を求めてみると、半周長は２１ですから

｛２１（２１−１３）（２１−１４）（２１−１５）｝^1/2＝８４

三辺の長さと面積が整数値をとる三角形をヘロンの三角形と呼びます。

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３辺の長さが√ａ，√ｂ，√ｃの三角形の面積を▲とすると，

（４▲）^2＝２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ−ａ^2−ｂ^2−ｃ^2

＝(a+b+c)^2-2a^2-2b^2-2c^2よりも・・・

＝-{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}+a^2+b^2+c^2

＝c^2-(a-b)^2+a^2-(b-c)^2+b^2-(c-a)^2

＝-(a-b+c)(a-b-c)-(a+b-c)(-a+b-c)-(-a+b+c)(-a-b+c)よりも・・・

＝-(a-b+c)(a-b-c)+(a+b-c)(a-b+c)-(-a+b+c)(-a-b+c)

＝(a-b+c){-(a-b-c)+(a+b-c)}-(-a+b+c)(-a-b+c)

＝(a-b+c)2b-(-a+b+c)(-a-b+c)・・・

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