■三角形公式集(その62)

 三角形の内接円の半径と面積は

  r=(def/(d+e+f))^1/2

  S=1/2・2(d+e+f)・r

 四角形の内接円の半径と面積は

  r={(efg+fgh+ghe+heg)/(e+f+g+h)}^1/2

  S=1/2・2(e+f+g+h)・r

 面積はrがわかれば計算可能である. 五角形が内接円をもつ場合は,

  S=1/2・2(f+g+h+i+j)・r

一方,内接円の半径rに関する代数方程式が存在する.五角形の内接円の半径rは

  (f+g+h+i+j)r^4−Ar^2+fghij=0

Aは(fgh+ghi+hij+ijf+jfg)ではなく,5個から3個をとったすべての組み合わせの10項となる.

 六角形の内接円の半径rは

  (f+g+h+i+j+k)r^4−Ar^2+B=0

Aは6個から3個をとったすべての組み合わせの20項となる.

Bは6個から5個をとったすべての組み合わせの6項となる.

B=fghij+fghik+fghjk+fgijk+fhijk+ghijk

 この代数方程式はrについての(r^2についての)

  三角形・四角形:2次(1次)

  五角形・六角形:4次(2次)

  七角形・八角形:6次(3次)

  九角形・十角形:8次(4次)

  11角形・12角形:10次(5次)

方程式になる.

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