■三角形公式集(その53)

 四角形の4辺の長さをa,b,c,d,内角をα,β,γ,δとする.ここで,2s=a+b+cとおくと,四角形の面積は

  S^2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcd(1+cos(β+δ))/2

となる.

 四角形が円に内接するとき,β+δ=πであるから,ブラーマグプタの公式に一致する.

 また,(β+δ)/2=θとおくと,

  (1+cos(β+δ))/2=(1+cos2θ)/2=cos^2θ

であるから,ブレットシュナイダーの公式に一致する.

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【1】ブレットシュナイダーの公式

 辺a、bのなす角をα,辺c、dのなす角をβ,θ=(α+β)/2とすると,19世紀になってから四角形の面積を正確に求める公式が得られた.

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos^2θ)^1/2

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