■三角形公式集(その48)

 1辺の長さが1の正n角形に内接する円がある.このとき,円の半径rは,

  r=1/(2tan(π/n))

で与えられる.(その11)において,

  d=e=f=・・・=1/2

とおくと,・・・

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[1]三角形の内接円の半径rは,12r^2−1=0

[2]四角形の内接円の半径rは,4r^2−1=0

[3]五角形の内接円の半径rは,80r^4−40r^2+1=0

[4]六角形の内接円の半径rは,80r^4−40r^2+3=0

[5]七角形の内接円の半径rは,448r^6−560r^4+84r^2−1=0

[6]八角形の内接円の半径rは,64r^6−112r^4+28r^2−1=0

[7]九角形の内接円の半径rは,

  2304r^8−5376r^6+2016r^4−144r^2+1=0

[8]十角形の内接円の半径rは,

  1280r^8−3840r^6+2016r^4−240r^2+5=0

[9]11角形の内接円の半径rは,

  11264r^10−42240r^8+29568r^6−5280r^4+200r^2−5=0

[10]12角形の内接円の半径rは,

  3072r^10−14080r^8+12672r^6−3168r^4+220r^2−3=0

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 ここで,tan(π/n)に対してn倍角の公式を適用すると,rは代数方程式の解として得ることができる.

  r=1/(2tan(π/n))

[1]n=3,r=1/(2√3)

[2]n=4,r=1/2

[3]n=5

 r=1/(2tanθ),θ=π/5,tan5θ=0,tanθ≠0より,

 5−10tan^2θ+tan^4θ=0

 5−10/4r^2+1/16r^4=0

 80r^4−40r^2+1=0

となって

[3]五角形の内接円の半径rは,80r^4−40r^2+1=0

が得られる.

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