■三角形公式集(その28)

  abc=4R△,(a+b+c)r=2△

を用いて,

  R≧2r

を証明してみましょう.

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 R−2r=abc/4△−4△/(a+b+c)

={abc(a+b+c)−16△^2}/4△(a+b+c)

 abc(a+b+c)−16△^2≧0を示せばよいことになる.

 ヘロンの公式

16Δ^2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

より,左辺は

左辺=(a+b+c){abc−(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)}

 ここで,

  (−a+b+c)=2x,

  (a−b+c)=2y,

  (a+b−c)=2zとおくと

a=x+7,b=y+z,c=z+x

abc−(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

=(x+y)(y+z)(z+x)−8xyz≧0  (相加相乗平均不等式)

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[おまけ]abc−(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)≧0

はレームスの不等式と呼ばれる.

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