■18世紀における微積分(その192)

[Q]∫(0,φ)dθ/cosθ=?

はメルカトール図法と関係する積分である.ここでは,t=tan(θ/2)とおく.

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 すると

  tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)=(1−cosθ)/sinθ,

  cosθ=(1−t^2)/(1+t^2),

  sinθ=2t/(1+t^2),

  dθ/dt=2/(1+t^2)

より,

  ∫1/cosxdx=∫2/(1−t^2)dt

 ここで,

  2/(1−t^2)=1/(1+t)+(1/1−t)

より

  ∫1/cosxdx=log|1+t|−log|1−t|+C

  ∫1/cosxdx=log|(1+t)/(1−t)|+C

  ∫1/cosxdx=log|tan(x/2+π/4)|+C

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