■コンウェイ数列(その6) 

[1]1,3,5,7,9,11,13,・・・

[2]1,2,4,8,16,32,64,・・・

[3]1,1,2,3,5,8,13,21,・・・

はそれぞれ等差数列、等比数列、フィボナッチ数列と呼ばれているものです。それでは

[4]1,11,21,1211,111221,312211,・・・

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この数列は1986年、コンウェイによって作られたもので、小学生はわかるが数学者はわからないというものです。

実はlook and say数列になっていて、

1(1個の1)→11(2個の1)→21(1個の2と1個の1)→1211(1個の1と1個の2と2個の1)→111221(3個の1と2個の2と1個の1)→312211

これは1個の3と1個の1と2個の2と2個の1と読めますから

312211と続きます。

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数学者が調べたところ、おもしろい性質がわかりました。例えば、

[1]1,2,3以外の数は絶対に出てこない(この数列に現れる数は1,2,3だけである)

[2]1111,2222のように同じ数が4つ以上並ぶことはない

[3]最初の1以外は11,12,13,21,22,23,31,32のどれかの組み合わせからできている。

[4]どんな数から始まっても互いに邪魔しあわず、くっついた2つの数列の組み合わせでできている

たとえば、Aで始めると

A,1A,111A,311A13211A,111312211A,・・・

Aを消すと、1,111,311,13211,111312211,・・・

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結果として得られる数列は92種類のユニットで構成されることがわかっています。ただし、22で始まる場合は

22,22,22,22,22,22,22,22,・・・

と22が続くだけで、公差0の等差数列、公比1の等比数列になってしまいます。

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[1]1,2,3以外の数は絶対に出てこない(この数列に現れる数は1,2,3だけである)

第2項以降は左から奇数桁目が数字の個数、偶数桁目は前の数字に表れる数字を表す。

anの奇数桁目に4が現れたとすると、an-1には同じ数字が4つ以上連続することになる。

しかし、偶数桁目に同じ数字が連続することはない。abcbはa個のbとc個のbは(a+c)個のbというべきであるからである。

同様に4以上の数字も表れない。

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[5]anの桁数をlnとするとln≦ln+1、すなわち、桁数は単調非減少。

2項目以降はlnは偶数である。偶数桁目に同じ数字が連続することはない。

anには1/2・ln個以上a個のbブロックが存在する。1個のブロックに次の項の2桁が対応するのでln+1≧1/2・ln・2=ln

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22で始まる場合は

22,22,22,22,22,22,22,22,・・・

と22が続くだけで、公差0の等差数列、公比1の等比数列になってしまいます。これ以外は

[6]桁数は無限大に発散する

  ln+1/ln〜1.3

であることが知られているそうです

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