■あいこの問題(その11)

[Q]n人でじゃんけんをしたとき,あいこになる確率は?

[A]あいこにならない確率を求めて1からひく.全員の手の出し方は3^n通り.あいこにならないのは全員の手が2種類(たとえばグーとチョキ)で3通りある.全員がグーまたはチョキとなる手の出し方は2^n通りであるが,全員がグーまたは全員がチョキとなる手の出し方の2通りを除外する必要があるから,3(2^n−2)通り.

{3^n−3(2^n−2)}/3^n

=1−(2^n−2)/3^n-1

n=2のとき,1−2/3=1/3

n=3のとき,1−6/9=1/3

n=4のとき,1−14/27=13/27

  [参]清史弘「数学的思考の日常」、現代数学社

ではこの問題を深化させています。・・・n人でじゃんけんをすれば平均何回で終わるか?

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[1]n人がじゃんけんしてm人が勝つ確率qm

qm=nCm・3・(1/3)^n=nCm・(1/3)^n-1

[2]あいこになる確率=誰も勝たない確率

1-q1-q2・・・-qn-1=1-(1/3)^n-1・ΣnCm

=1−(2^n−2)/3^n-1

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[3]n人でじゃんけんを始めて、勝者が1人に決まるまでのじゃんけんの回数の期待値

まずは2人でじゃんけんをしたとき決着がつくまでの回数の期待値E2を求めると

k-1回あいこが続き、k回目に勝者が決まる確率をpkとすると

n=2のとき,あいこになる確率は1−2/3=1/3であるから

pk=(1/3)^k-1・(1-1/3)

E2=Σkpk=(2/3) Σ(1/3)^k-1=(2/3) 1/(1-/3)^2=3/2

これは2人でじゃんけんすると平均1.5回で決着がつくことを意味している。

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次に3人でじゃんけんをしたとき決着がつくまでの回数の期待値E3であるが、まずは補題から・・・

 あいこの確率はn=10のとき,94.8%,すなわち,10人もいればほぼあいこといえるが,1回のじゃんけんだけでただ一人の勝ちが決まる確率だって0ではない.その確率を求めてみよう.

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[Q]n人でじゃんけんをしたとき,1回で勝者が決まる確率は?

[A]全員の手の出し方は3^n通り.1回で勝者が決まるのは全員の手が2種類(たとえばグーとチョキ)で3通り.特定のひとり(自分)がグーを出し,残りのn−1人がチョキとなる手の出し方は1通り.n人のうちの誰か一人ががグーを出し,残りのn−1人がチョキとなる手の出し方はn通り.

したがって,自分ひとりが勝つ確率は3/3^n=1/3^n-1

誰かひとりが勝つ確率は3n/3^n=n/3^n-1

n=2のとき,誰かひとりが勝つ確率は2/3  (OK)

n=3のとき,3/9=1/3

n=4のとき,4/27(14.8%)

n=5のとき,6.2%

n=6のとき,2.5%

n=7のとき,0.96%

n=8のとき,0.37%

n=9のとき,0.14%

n=10のとき,0.05%

n→∞のとき,n/3^n-1→0%

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3人でじゃんけんをしたとき

確率1/3で一人の勝者が決まる。

あいこの確率は1/3であるから、確率1/3で二人の勝者が決まる。

このときすでに1回じゃんけんしている

勝者が決まるまでE2回のじゃんけんを行うことが期待される

確率1/3であいこになる。

このときすでに1回じゃんけんしている

勝者が決まるまでE2回のじゃんけんを行うことが期待される

以上により

E3=1/3・1+1/3(1+E2)+1/3(1+E3)

E2=3/2よりE3=9/4

これは3人でじゃんけんすると平均2.25回で決着がつくことを意味している。

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E4は

E4=4/27・1+6/27(1+E2)+4/27(1+E3)+13/27(1+E4)

より、E4=45/14=3.21

n人がじゃんけんしてm人が勝つ確率qm

qm=nCm・3・(1/3)^n=nCm・(1/3)^n-1

4人がじゃんけんして1人が勝つ確率4/27

4人がじゃんけんして2人が勝つ確率6/27

4人がじゃんけんして3人が勝つ確率4/27

あいこになる確率=誰も勝たない確率

1-q1-q2・・・-qn-1=1-(1/3)^n-1・ΣnCm

=1−(2^n−2)/3^n-1

13/27

E5=5/81・1+10/81(1+E2)+10/81(1+E3)+5/81(1+E4)+51/81(1+E5)

より,E5=157/35=4.49

5人がじゃんけんして1人が勝つ確率5/81

5人がじゃんけんして2人が勝つ確率10/81

5人がじゃんけんして3人が勝つ確率10/81

5人がじゃんけんして4人が勝つ確率5/81

あいこになる確率=誰も勝たない確率

1-q1-q2・・・-qn-1=1-(1/3)^n-1・ΣnCm

=1−(2^n−2)/3^n-1

51/81

E6=13497/2170=6.22,E7=225161/26040=8.65

E8=12.10

E9=17.09

E10=24.35

E20=1142.90

E30=64201.24 となるのだそうだ・・・やれやれ

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