■源氏香図(その11)

 nSkは第2種スターリング数と呼ばれるもので,漸化式

  n+1Sk=nSk-1+knSk

が成り立ちます.

 nTkは第1種スターリング数と呼ばれるもので,漸化式

  n+1Tk=nTk-1+nnTk

が成り立ちます.

 どちらもパスカルの三角形の規則

  n+1Ck=nCk-1+nCk

を少し変えたもので,三角形状に配置すると・・・

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【1】第2種スターリング数

n                   計(ベル数)

1:1                 1

2:1 1               2

3:1 3 1             5

4:1 7 6 1           15

5:1 15 25 10 1      52

6:1 31 90 65 15 1   203

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【2】第1種スターリング数

n                   計(階乗)

1:1                 1

2:1 1               2

3:2 3 1             6

4:6 11 6 1          24

5:24 50 35 10 1     120

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(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=A(x+α)(x+β)(x+γ)(x+δ)+B(x+α)(x+β)(x+γ)+C(x+α)(x+β)+D(x+α)+E

において、

a=b=c=d=0,α=0,β=-1,γ=-2,δ=-3のとき、

x^4=Ax(x-1)(x-2)(x-3)+Bx(x-1)(x-2)+Cx(x-1)+Dx+E

A=1,B=6,c=7,D=1,E=0   (第2種スターリング数)

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α=β=γ=δ=0,a=0,b=-1,c=-2,d=-3のとき、.

x(x-1)(x-2)(x-3)=Ax^4x+Bx^3+Cx^2+Dx+E

A=1,B=-6,c=11,D=-6,E=0   (第1種スターリング数)

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