【３】三角関数の有理式の積分

exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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φ(x)=∫(0,π)dx/(1+ecosx)=π/(1-e^2)^1/2

φ(x)=∫(0,π)dx/(a+bcosx)^2=πa/(a^2-b^2)^3/2

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z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫(0,π)dx/(1+ecosx)=2/ie∫(0,π)dz/(z-α)(z-β)

=1/i(1-e^2)^1/2・log(z-α)/(z-β)=・・・

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