【３】三角関数の有理式の積分

exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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φ(x)=∫(tanx)^3dx=1/2(tanx)^2+log|cosx|

はt=tanxが有効である。dx=dt/(1+t^2)

φ(x)=∫(tanx)^3dx=∫t^3dt/(1+t^2)=∫(t-t/(1+t^2)dt=1/2t^2-1/2log(1+t^2)

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z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫(tanx)^3dx=∫{(z^2-1)/(z^2+1)}^3dz/z=・・・

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