【２】無理関数の積分

φ(x)=∫(1-x^2)^1/2dx

Ψ(x)=∫(x^2-1)^1/2dx

はそれぞれ、円x^2+y^2=1,双曲線x^2-y^2=1に根ざしている。

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φ(x)=∫(2^1/2,2)dx/x(x^2-1)^1/2dxを考える。

t=(1-x^2)^1/2と変数変換すると

φ(x)=∫1/t・tdt/(t^2+1)=∫dt/(t^2+1)=arctant+C=arctan(1-x^2)^1/2+C

φ(x)=π/12が得られるが、変数変換の由来が不明である。

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y=(x^2-1)^1/2はy^2=x^2-1（双曲線）であるから、(-1,0)を通り傾きｍの直線を考える。m=tan(θ/2)

交点はy^2=x^2-1,y=m(x+1),m=tan(θ/2)より、

x=1/cosθ、y=tanθ

∫dx/x(x^2-1)^1/2dx=∫dθ=θ+C

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φ(x)=∫dx/x^2(x^2-1)^1/2dxを考える。

漸近線に平行な直線群y=-x+tを考えて、双曲線のパラメータ表示すると

x=(t^2+1)/2t,y=(t^2-1)/2t,dx=(t^2-1)dt/2t^2

φ(x)=∫dx/x^2(x^2-1)^1/2dx=∫dx/x^2ydx

=4∫tdt/(t^2+1)^2=-2/(t^2+1)

=-1+(x^2-1)^1/2/x

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