【２】無理関数の積分

φ(x)=∫dx/(x+(x^2-1)^1/2)

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φ(x)=∫(x-(x^2-1)^1/2)dx

φ(x)=x^2/2-1/2・(x(x^2-1)^1/2-log|x+(x^2-1)^1/2|

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y=(x^2-1)^1/2→双曲線x^2-y^2=1→漸近線はy=x,y=-x

漸近線に平行な直線群y=-x+tは双曲線と交点を持つ。

x=(t^2+1)/2t,y=(t^2-1)/2t,dx=(t^2-1)dt/2t^2

φ(x)=∫dx/(x+(x^2-1)^1/2)=∫dx/(x+y)=∫(t^2-1)dt/2t^3=1/2∫(1/t-1/t^3)dt

=1/2(log|t|+1/2t^2)

あとはｘの関数に戻すだけである

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