【１】有理関数の積分

φ(x)=∫dx/(1+x^2)

はx=tanθとして変数変換し計算するのが常套手段であるが、変数θは何に由来するのであろうか？

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1+x^2=(1+ix)(1-ix)

1/(1+x^2)=1/2{1/(1-ix)+1/(1+ix)}

φ(x)=1/2i{-log(1-ix)+log(1+ix)}=1/2i・log(1+ix)/(1-ix)

w=(1+ix)/(1-ix)とおくと

φ(x)=1/2i・logw

1+ixの偏角をθとすれば、θ=arg(1+ix)

|w|=1,argw=arg(1+ix)-arg(1-ix)=2θ

logw=log|w|+iargw=2iθ

φ(x)=θ

xとθはx=tanθにより結ばれていることがわかる。

φ(tanθ)=arctan(tanθ)=θ

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また、t=(1+ix)/(1-ix)とおくと

dx/(1+x^2)=dt/2it

θ=arg(1+ix),t=exp(2iθ),

dx/(1+x^2)=dt/2it=dθとなるのである。

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