■18世紀における微積分(その145)

 (その144)では相貫円柱の問題を解くのに円柱座標を用いましたが,ここでは(x,y)平面に平行な面での切り口の問題として考えてみます.

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 上半分の体積を計算して2倍しますが,

[1]z≧1/√2のとき,切り口が1辺2(1−z^2)の正方形

[2]z≦1/√2のとき,切り口が円から4つの弓形を除いた図形

  弓形の面積はθ−cosθsinθ

 したがって,

  V/2=∫(1/√2,1)4(1−z^2)^1/2dz+∫(0,1/√2)(π−4θ+4cosθsinθ)dz

=∫(1/√2,1)4(1−z^2)^1/2dz+∫(0,1/√2)πdz−4∫(0,π/41/√2)(4θ+4cosθsinθ)cosθdθ

=8−4√2→V=16−8√2 (πは入らない)

 なお,この体積は球の体積4π/3より大きい.

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