■18世紀における微積分(その144)

 相貫円柱の問題を考えてみたい.答えを先にいうと

(A)半径が等しい3つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき,その共通部分は立方八面体の双対である菱形12面体を丸く膨らましたような形で12の曲面で囲まれた立体になる.その体積は円柱の直径をdとすると

  (2−√2)d^3

になる.

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 3円柱を

  x^2+y^2≦1,y^2+z^2≦1,z^2+x^2≦1

とする.対称性から0≦θ≦π/4の扇型の上で,z>0の体積を計算すれば,その16倍が全体の体積です.

 天井と床は0≦y≦xが成立する範囲で

  z=(1−x^2)^1/2

となるので,

  V/16=∫(0,1)[∫(0,π/4)(1−r^2cos^2θ)^1/2dθ]rdr

  rはヤコビアン

 積分の順序交換をし

  V/16=∫(0,π/4)[∫(0,1)r(1−r^2cos^2θ)^1/2dr]dθ

  3V/16=∫(0,π/4)[1/cos^2θ−sin^3θ/cos^2θ]dθ

 第1項は1,t=cosθと置換すると,第2項は

  ∫(1,1/√2)(t+1/t)|=2−3/√2

より

  3V/16=3−3/√2→V=16−8√2 (πは入らない)

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