■18世紀における微積分(その113)

 奇数乗の場合を補足しておきたい.

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[1]x^3+1を因数分解した際,x^3=−1の3根をを求めた上で,共役なペアをまとめると考えます.

  x^3=−1

  x=cosθ+isinθ

  3θ=(2k+1)π

より

  θ=±π/3,±π

 ここで,共役なペアをまとめると,因数は

  x^2−(2cosθ)x+1

つまり

  1=2cosπ/3

  x^3+1=(x+1)(x^2−x+1)

というわけです.

 ∫dx/(1+x^2)=arctanxを知っていると,これで,

  ∫dx/(x^3+1)

は,何とか正解にたどり着けるでしょう.

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[2]同様に,x^5+1の因数分解では

  x^5=−1

  x=cosθ+isinθ

  5θ=(2k+1)π

より

  θ=±π/5,±3π/5,±π

 ここで,共役なペアをまとめると,因数は

  x^2−(2cosθ)x+1

つまり

  (1+√5)/2=2cosπ/5

  (1−√5)/2=2cos3π/5

  x^5+1=(x+1)(x^4−x^3+x^2−x+1)

=(x+1){(x^2+1)^2−x^3−x^2−x)

=(x+1)(x^2−(1+√5)/2x+1)(x^2−(1−√5)/2x+1)

というわけです.

 ∫dx/(1+x^2)=arctanxを知っていると,これで,

  ∫dx/(x^5+1)

は,何とか正解にたどり着けるでしょう.

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