■18世紀における微積分(その108)

[基本原理]2次曲線Γ上に定点P0を定める.Γ上の任意の点Pに半直線P0Pを対応させ(P0自身にはそこでの接線を対応させ),P0Pが正の実軸となす傾き(偏角の正接)をtとすると,Γを表す2次式の座標(x,y)はtの有理関数として表すことができる.

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【1】双曲線の場合

 双曲線y=√(x^2+1)に対してはP0を(0,1)にとれは不定積分

  ∫√(x^2+1)dx

は計算できるが,その計算はかなり複雑になる.それよりもP0が無限遠点二いったときの極限として,点Pを直線族x+y=tとの交点として表現すると以下のように簡単に計算できる.

  x=(t−1/t)/2,y=(t+1/t)/2,

  dx/dt=(t^2+1)/2t^2

  ∫√(x^2+1)dx=∫(t^2+1)^2/4t^3dt

 =∫{(t+1/t^3)/4+1/2t}dt

 =(t^2−1/t^2)/8+1/2log|t|+C

 =1/2{x√(x^2+1)+log(x+√(x^2+1))}+C

 これはなぜ,t=√(x^2+1)ではなく,t=x+√(x^2+1)と変数変換すべきか,その根拠を説明している.

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【2】置換y=√(x^2+1)

 t=x+√(x^2+1)ではなく,y=√(x^2+1)として

  ∫√(x^2+1)dx=∫ydx

を求めてみよう.

  dy/dx=x/√(x^2+1)=x/y,xdx=ydy

  ∫ydx=∫y^2/xdy=∫y^2/√(y^2-1)dy

となって簡単にはならない.

 次に,∫dx/√(x^2+1)=log(x+√(x^2+1)+Cがあらかじめ求まっているとき,

  ∫√(x^2+1)dxは?

を考えてみる.

  √(x^2+1)=(x^2+1)/√(x^2+1)=x^2/√(x^2+1)+1/√(x^2+1)

  x^2/√(x^2+1)=(y^2-1)/y

  x/√(x^2+1)=√(y^2-1)/y

  dy/dx=x/√(x^2+1)=x/y,xdx=ydy

  ∫x^2/√(x^2+1)dx=∫(y^2-1)dy/x=∫xdy

となって,∫ydxが∫xdyに変わるだけである.

  ∫√(x^2+1)dx=1/2{x√(x^2+1)+log(x+√(x^2+1))}+C

であるから

  √(x^2+1)=(x^2+1)/√(x^2+1)=(x^2+1/2)/√(x^2+1)+1/2・1/√(x^2+1)=1/2・(2x^2+1)/√(x^2+1)+1/2・1/√(x^2+1)

としてみるが,その原始関数

  {x√(x^2+1)}’=(2x^2+1)/√(x^2+1)

には気づかないと思う.

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