【３】三角関数の有理式の積分

変数変換t=tan(x/2)が有効であることが知られている。

(-1,0)、(cosx,sinx)を通り傾きｔの直線を考えると、その傾きはt=tan(x/2)にほかならないからである

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exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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φ(x)=∫(0,π/2)dx/{(cosx)^4+(sinx)^4}=π/(2^1/2)を示す。

φ(x)=∫dx/{(cosx)^4+(sinx)^4}=∫dx/{(cosx)^4+(sinx)^4}=∫dt/(2-(sint)^2),2x=t

ここでさらに変数変換u=cottを行うと、(sint)^2=1/(1+u^2),du=-dt/((sint)^2=-(1+u^2)dt,dt=du/(1+u^2)

したがって、

φ(x)=∫dx/{(cosx)^4+(sinx)^4}=-1/(2^1/2)・arctan{(2^1/2)cot2x}

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φ(x)=∫dx/sinx=log|tanx/2|を示す。

t=tan(x/2),sinx=2t/(1+t^2), dx=2dt(1+t^2)

φ(x)=∫dx/sinx=∫(1+t^2)/2t・2dt/(1+t^2)=∫dt/t=log|t|=log|tanx/2|

Ψ(x)=∫dx/cosx=log|tan(x/2+π/4)|はΨ(x)=φ(x+π/2)より示される

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φ(x)=∫dx/(sinx)^2=-cotx

Ψ(x)=∫dx/(cosx)^2=tanx

の場合は、t=tan(x/2)ではなく、t=tanxが有効である。

(sinx)^2=t^2/(1+t^2),dx=dt/(1+t^2)

φ(x)=∫dx/(sinx)^2=∫dt/t^2=-1/t=-cotx

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φ(x)=∫dx/(sinx)^3=1/2log|tanx/2|-cosx/2(sinx)^2

Ψ(x)=∫dx/(cosx)^3=1/4log(1+sinx)/(1-sinx)+sinx/2(cosx)^2

の場合は、t=tan(x/2),sinx=2t/(1+t^2), dx=2dt(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2)が有効である。

φ(x)=∫dx/(sinx)^3=1/4∫(-1/t^3+2/t+t)dt=1/2log|t|+1/8(-1/t^2+t^2)

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φ(x)=∫dx/(sinx)^4=-cosx/3(sinx)^3-2cosx/3sinx

Ψ(x)=∫dx/(cosx)^4=tanx+1/3(tanx)^3

の場合は、t=tan(x/2),sinx=2t/(1+t^2), dx=2dt(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2)が有効である。

φ(x)=∫dx/(sinx)^4=∫(1+t^2)dt/t^4=-1/3t^3-1/t

Ψ(x)=φ(x+π/2)より示される

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φ(x)=∫tanxdx=-log|cosx|

はtanx=sinx/cosx=-(cosx)'/cosxより即座に示される

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