【１】有理関数の積分

φ(x)=∫dx/(1+x^2)

1+x^2=1+(tanθ)^2

dx=dθ/(cosθ)^2

φ(x)=∫dx/(1+x^2)=∫dθ=θ+Ｃ＝arctanx+C

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∫(0,1)dx/(1+x^2)=∫dθ=θ＝arctanx|=π/4

∫(0,∞)dx/(1+x^2)=∫dθ=θ＝arctanx|=π/2

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ここでは

φ(x)=∫dx/(1+x^4)

を取り上げてみたい。

(1+x^4)=(x^2+2^1/2x+1）(x^2-2^1/2x+1）より

1/(1+x^4)=1/2^3/2・｛(x+2^1/2)/(x^2+2^1/2x+1)-(x-2^1/2)/(x^2-2^1/2x+1)}

=1/2^3/2・｛1/2・(2x+2^1/2)/(x^2+2^1/2x+1)-2^1/2/{(2^1/2x+1)^2+1}

-1/2^3/2・｛1/2・(2x-2^1/2)/(x^2-2^1/2x+1)-2^1/2/{(2^1/2x-1)^2+1}

したがって、

φ(x)=1/4√2・log(x^2+2^1/2x+1)/(x^2-2^1/2x+1)+1/4√2・{arctan(√2x+1)+arctan(√2x-1)}

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(1+x^4)=(x^2+2^1/2x+1)(x^2-2^1/2x+1)をさらに因数分解して、複素数の世界まで広げると

(1+x^4)=(x-α)(x-α~)(x+α)(x+α~),α=(1+i)/√2

1/(1+x^4)=A/(x-α)+B/(x-α~)+C/(x+α)+D/(x+α~)

という形に表示することもできる

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