【３】三角関数の有理式の積分

変数変換t=tan(x/2)が有効であることが知られている。

(-1,0)、(cosx,sinx)を通り傾きｔの直線を考えると、その傾きはt=tan(x/2)にほかならないからである

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exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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φ(x)=∫(0,π/2)dx/{(cosx)^4+(sinx)^4}=π/(2^1/2)を示す。

φ(x)=∫dx/{(cosx)^4+(sinx)^4}=∫dx/{(cosx)^4+(sinx)^4}=∫dt/(2-(sint)^2),2x=t

ここでさらに変数変換u=cottを行うと、(sint)^2=1/(1+u^2),du=-dt/((sint)^2=-(1+u^2)dt,dt=du/(1+u^2)

したがって、

φ(x)=∫dx/{(cosx)^4+(sinx)^4}=-1/(2^1/2)・arctan{(2^1/2)cot2x}

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