鏡映群

　いくつかの鏡映変換により生成される直交変換群を鏡映群という．鏡映群は数学の様々に分野で広く現れる重要な研究対象である．無限の鏡映群は基本的には直交群しかないが，有限の鏡映群は

　　Ａn（ｎ≧１），Ｂn（ｎ≧２），Ｄn（ｎ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｈ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）

に分類される．

　下付きの指数はそれが働く空間の次元である．Ａnはｎ次元正単体の対称性の群と解釈することができる．Ｂnはｎ次元立方体（正８面体）の対称性の群であり，位数は２^nｎ！である．ＤnはＢnに対応する群の指数２の部分群に対応している．Ｈ3は正２０面体の対称性の群に対応し，Ｉ2(ｐ)は正２面体群Ｄpに対応している．Ｈ4とＦ4はそれぞれ４次元の正多胞体（正２４胞体，正６００胞体）に対応している．

　ここにあげられた群はＨ3，Ｈ4，Ｉ2(ｐ)（ｐ＝５またはｐ≧７）を除いて，すべて結晶群である．なお，線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論である．そこでの理論の多くは，例外型の結晶群（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2）に対してだけでなく，結晶群でないユークリッド鏡映群（Ｉ2(p)，Ｈ3，Ｈ4）に対しても成り立つ．

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