■ウォリス積と・・・(その50)

オイラー積

 1+1/2^n+1/3^n+1/4^n+1/5^n+1/6^n+1/7^n+・・・

=2^n/(2^n-1)・3^n/(3^n-1)・5^n/(5^n-1)・7^n/(7^n-1)・11^n/(11^n-1)・・・

すなわち、ζ(n)=Πp^n/(p^n-1),ζ(2)=Πp^2/(p^2-1)

とウォリス積

π/2=Π4n^2/(4n^2-1)=Π2n/(2n-1)・2n/(2n+1)

2=Πn^2/(n^2-1)

π/4=Π(n^2-1)/n^2  (nは奇数)

を組み合わせると多数の積分解が得られる。

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ζ(2)=Πp^2/(p^2-1)=π^2/6

ζ(4)=Πp^4/(p^4-1)=π^4/90

Πp^2/(p^2+1)=π^2/15

Π(p^2+1)/(p^2-1)=3/2(pは奇素数)

Π(p^2+1)/(p^2-1)=5/2(pは素数)

Π(p^4+1)/(p^4-1)=7/6(pは素数)

Π(p^6+1)/(p^6-1)=715/691(pは素数)

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