■ウォリス積と・・・(その45)

  Π(1−1/p)^-1〜expγ・logx

  Π(1−(−1)^(n-1)/2/p)^-1〜π/4,pは奇素数

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  A=Π(1−1/p)^-1,pは4n+1型素数

  B=Π(1+1/q)^-1,qは4n+3型素数

  A・B〜π/4・(a/b)^1/2

 a=1,b=1の場合はメルテンスの定理

  Π(1−(−1)^(n-1)/2/p)^-1〜π/4,pは奇素数

であるが,a=2,b=1の場合は

  A・B〜π/2√2

となる.

  A・B〜π/2√2

は,素数を

  5,3,13,17,29,37,41,7,53,・・・

という順番に並べて積

  Π(1−(−1)^(n-1)/2/p)^-1

をとったものである.   

 別の書き方をするとpのノルムN(p)を

  N(p)=p^1/a,  p=1 (mod4)

  N(p)=p^1/b,  p=1 (mod4)

とくに,a=2,b=1の場合は

  N(p)=p^1/2,  p=1 (mod4)

  N(p)=p  ,  p=1 (mod4)

の順番に並べた素数列

  5,3,13,17,29,37,41,7,53,・・・

すなわち

  √5<3<√13<√17<√29<√37<√41<7<√53<・・・

となっているのである.

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