■ウォリス積と・・・(その44)

[1]ζ(s)=Σ1/n^s=Π1/(1−1/p^s)  (1737年)

[2]L(s)=Σ(−1)^(n-1)/2/n^s=Π1/(1−(−1)^(p-1)/2/p^s)  (1737年),nは奇数,pは奇素数

[3]P(s)=Σ1/p^sとおく.

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 L(1)=1−1/3+1/5−1/7+1/9−・・・=π/4

 ζ(2)=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・=π^2/6

 ζ(4)=1+1/2^4+1/3^4+1/4^4+・・・=π^4/90

 ζ(6)=1+1/2^6+1/3^6+1/4^6+・・・=π^6/945

 ζ(8)=1+1/2^8+1/3^8+1/4^8+・・・=π^8/9450

 Π(p^2+1)/(p^2−1)=ζ(2)^2/ζ(4)=5/2

 s>1のとき

  1/(s−1)<ζ(s)<s/(s−1)

  0<ΣP(ms)/m<1

 Σ1/p〜loglogx

 π(x)〜c/logx 

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