■ウォリス積と・・・(その43)

[1]ζ(s)=Σ1/n^s=Π1/(1−1/p^s)  (1737年)

より,

  ζ(s)=Πp^s/(p^s−1)

 s=2とおくと

  π^2/6=Πp^2/(p^2−1)・・・[1]

=4/3・9/8・25/24・49/48・121/120・169/168・289/288・・・

 s=4とおくと

  π^4/90=Πp^4/(p^4−1)・・・[2]

 [2]/[1]より,

π^2/15=Πp^2/(p^2+1)・・・[3]

=4/5・9/10・25/26・49/50・121/122・169/170・289/290・・・

===================================

 また,[1]/[3]より

5/2=Π(p^2+1)/(p^2−1)

=5/3・10/8・26/24・50/48・122/120・170/168・290/288・・・

 両辺に3/5をかけて,右辺を約分すると

3/2=10/8・26/24・50/48・122/120・170/168・290/288・・・

=5/4・13/12・25/24・61/60・135/134・145/144・・・

=Π{(p^2+1)/2}/{(p^2−1)/2}   pは奇素数

===================================