■ウォリス積と・・・(その21)

  Πp^2/(p^2−1)=Π1/(1−1/p^2)

と書いたほうがわかりやすいかもしれない.これはオイラー積であって,

 ζ(2)=1/1^2 +1/2^2 +1/3^s +1/4^2 +・・・=π^2/6

に等しい.

  Πp^2/(p^2−1)=ζ(2)=π^2/6

  Πp^4/(p^4−1)=ζ(4)=π^4/90

  Πp^6/(p^6−1)=ζ(6)=π^6/945

  Πp^8/(p^8−1)=ζ(8)=π^8/9450

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  Π(p^2+1)/(p^2−1)=ζ(2)^2/ζ(4)=5/2

  Π(p^4+1)/(p^4−1)=ζ(4)^2/ζ(8)=7/60

 これより,

  Πp^2/(p^2+1)=ζ(2)ζ(4)/ζ(2)^2=ζ(4)/ζ(2)=π^4/90・6/π^2=π^2/15

  Πp^4/(p^4+1)=ζ(4)ζ(8)/ζ(4)^2=ζ(8)/ζ(4)=π^8/9450・90/π^4=π^4/105

が得られる.

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