オイラーの関数φ（ｄ）は１からｄ−１までの整数のうち，ｄと互いに素になるものの個数として定義されます．たとえば，ｄ＝７の場合１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｄ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　１は素因数をもたないため，φ（１）は意味をなしませんが，特別にφ（１）＝１と定義されます．

　　φ（１）＝φ（２）＝１，

　　φ（３）＝φ（４）＝φ（６）＝２，

　　φ（５）＝φ（８）＝φ（１０）＝４，

　　φ（７）＝φ（９）＝６

　１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，

　　φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・

であることを示しました．

　この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，

　　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　　φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０

　　φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０

また，任意の素数ｐに対して，

　　φ（ｐ^n）＝ｐ^n（１−１／ｐ）

したがって，

　　φ（ｐ）＝ｐ（１−１／ｐ）＝ｐ−１

となります．

　また，

　　ｎ＝φ（ｐ）＋φ（ｑ）＋φ（ｒ）＋φ（ｐｑ）＋・・・＋φ（ｐｑｒ）＋・・・

が成り立ちます．すなわち，どんな数ｎもすべての約数のオイラー関数を足し合わせた値と一致するのです．

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