■ウォリス積と・・・(その13)

  (1・3/2・2)(3・5/4・4)(5・7/6・6)・・・((2n−1)・(2n+1)/2n・2n)・・・

=(1−1/2^2)(1−1/4^2)(1−1/8^2)・・・

=2/π

はウォリスの公式と呼ばれています.

 ここでは

  Pn=1/2・3/4・5/6・・・(2n−1)/2n

について,n→tとしたときの極限について考えてみます.

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  Pn^2=(1/2)^2・(3/4)^2・(5/6)^2・・・

=(1・3/2・2)(3・5/4・4)(5・7/6・6)・・・((2n−1)・(2n+1)/2n・2n)・・・

=(2/π)^2

  Pn→2/π

とするのは早合点です.

  (2n+1)Pn^2→2/π,  Pn→0

が正しいのですが,

  P500000=(1/2)^2・・・・(999999/1000000)^2

=(1・3/2・2)(3・5/4・4)(5・7/6・6)・・・999999/100000・1/1000000

 (2k−1)(2k+1)<4k^2

  P500000<(2,2/2・2)(4,4/4・4)(6・6/6・6)・・・999999/100000・1/1000000<1/1000000=(1/1000)^2

より,

  P500000<1/1000

を示すことができます.

 わずかに強い誤差評価として

  1/2(2n+1)<(2/π)^2Pn^2<1/4n

  1/π(n+1/2)<Pn^2<1/πn

  Pn〜1/√(πn)

  √(πn)Pn→1

なども導かれます.

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