■ウォリス積と・・・(その11)

  ウォリスの公式としては

[0]2/π=(1・3/2・2)(3・5/4・4)(5・7/6・6)・・・

=Π(2n−1)(2n+1)/2n・2n

が有名ですが,その仲間達として,

[1]3√3/2π=(2・4/3・3)(5・7/6・6)(8・10/9・9)・・・

=Π(3n−1)(3n+1)/3n・3n

[2]2√2/π=(3・5/4・4)(7・9/8・8)(11・13/12・12)・・・

=Π(4n−1)(4n+1)/4n・4n

[3]3/π=(5・7/6・6)(11・13/12・12)(17・19/18・18)・・・

=Π(6n−1)(6n+1)/6n・6n

なども知られています.

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 sinx/x=(1−x^2/π^2)(1−x^2/4π^2)(1−x^2/9π^2)・・・

=Π(1−x^2/n^2π^2)

のxに

π/2を代入すると→[0]

π/3を代入すると→[1]

π/4を代入すると→[2]

π/6を代入すると→[3]が得られる.

 また,

  N=Πn^2/(n^2−1)=Πn/(n−1)・n/(n+1)

=2/1・2/3・3/2・3/4・・・n/(n−1)・n/(n+1)

もウォリスの公式の仲間ですが,うまくキャンセルアウトして

>  N=2/1・n/(n+1)→2

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[1]N=Πn^k/(n^k−1)  n=2〜∞

k=2:N=2

k=3:N=3πsech(π√3/2)

k=4:N=4πcosech(π√3/2)

k=6:N=6π^2(sech(π√3/2))^2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[2]N=Π(n^k+1)/n^k  n=1〜∞

k=2:N=sinh(π)/π

k=3:N=cosh(π√3/2)/π

 なお,

k=4:N=sin((−1)^1/4π)sin((−1)^3/4π)/π^2

k=6:N=sin((−1)^1/6π)sin((−1)^5/6π)sinh(π)/π^3

<P />と計算される.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[3]

  Π((n^3−1)/(n^3+1)=2/3   n=2〜∞

 直接的な関係はないが

  Π(p^2+1)/(p^2−1)=5/2

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