（Ｑ）１からｎまでの自然数の中で２の倍数でも３の倍数でもない数は何個あるか？

という問題を考えてみよう．

（Ａ）＃｛２の倍数または３の倍数｝＝＃｛２の倍数｝＋＃｛３の倍数｝−＃｛２の倍数かつ３の倍数｝

２と３の最小公倍数は６であるから，＃｛２の倍数かつ３の倍数｝＝＃｛６の倍数｝

これより，

　　ｎ−［ｎ／２］−［ｎ／３］＋［ｎ／６］

が答えになる．

　ここでは包除原理｛Ａ∪Ｂ｝＝｛Ａ｝＋｛Ｂ｝−｛Ａ∩Ｂ｝が用いられている．集合の数が多くなるとややこしくなるが，包除原理は一般的には

　　｛Ａ1∪・・・∪Ａn｝＝Σ｛Ａi｝−Σ｛Ａi∩Ａj｝＋Σ｛Ａi∩Ａj∩Ａk｝−・・・＋（−１）^(n-1)｛Ａ1∩・・・∩Ａn｝

と書くことができる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｎ−［ｎ／２］−［ｎ／３］＋［ｎ／６］

はガウス記号を使っているので一括りにすることはできないが，

　　ｎ（１−１／２）（１−１／３）

をみて，オイラー関数φ（ｎ）を想起された方も少なくないだろう．φ（ｎ）はｎと互いに素な自然数の個数として定義される．たとえば，

　　φ(2)=1,φ(3)=2,φ(4)=2,φ(5)=4,φ(6)=2,･･･

　φ（ｎ）の明示式は

　　φ（ｎ）＝ｎΠ（１−１／ｐi）　　　ｐiはすべての素因数をわたる

で与えられる．たとえば１１７６＝２^3・３・７^2より

　　φ（1176）＝1176(1-1/2)(1-1/3)(1-1/7)＝３３６

　包除原理はオイラー関数の明示式を示すためにも用いられる．すなわち，

　　φ（ｎ）＝ｎ−Σｎ／ｐi＋Σｎ／ｐiｐj−Σｎ／ｐiｐjｐk＋・・・＋（−１）^mΣｎ／ｐ1ｐ2・・・ｐm

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝