■a^bとb^a(その17)

[Q]0<(e^π−π^e)<1を示せ.

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[A] x^y−y^x=0は2≦x<e<y≦4について調べればよい.

 わかっていることをまとめると

[1]x^y−y^x=1の整数解は(x,y)=(3,2)だけである(3^2−2^3=1).すなわち,8と9だけが唯一連続するベキ乗数である.

[2]x^y−y^x=0  (0<x<y)

  2≦x<e<y≦4で,(x,y)がともに整数となるのは(x,y)=(2,4)のみである(4^2−2^4=0).

[3](x,y)=(e,e),したがって,e^e=15.1542・・・の周囲にx^y−y^x=0となる解が集積する.

[4]x=2〜3,y=3〜4にはy^x−x^y=1となる解が分布する.

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[5]Mathematicaによるグラフ表示

 阪本ひろむ氏が,x^y-y^xに関するグラフなどを描いてくれたので掲載する.

[1]x^y−y^xの等高線表示

[a]x^y−y^x=0

[b]x^y−y^x=1

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