■a^bとb^a(その16)

 e^π>π^eは

  g(x)=logx/x

において,

  loge/e>logπ/π

であるから,

  e^π>π^e

 実際に,g(x)=logx/xのグラフを描いてみればg(x)は幅のある最大値をもち,2つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである.

  e^π=23.14069・・・≒π+20

  π^e=22.45915・・・

  0<(e^π−π^e)<1

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 1999年の東大入試問題に,

  8<∫e^xsin^2xdx<9

を証明して

  e^π>21

を示せという問題が出題されたという.

  En=∫(0,π)e^xsin^nxdx

とする.2回積分すると,

  En=n∫(0,π)e^x{(n−1)sin^n-2x−sin^nx}dx

   =n(n−1)En-2+n^2En

を得る.

  E0=e^π−1

  E1=(e^π+1)/2

  E2=2(e^π−1)/5

  E3=3(e^π+1)/10

  π>3.125よりe^π>e^3・e^1/8

  e>2.7よりe^π>e^3・e^1/8>21→E2>8,E3<8

 あるいは,y=e^x上の点(3,e^3)における接線y=e^3(x−2)と比較すると

  e^π>e^3(π−2)>21

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