フルビッツのゼータ関数に対するオイラーのガンマ定数γアナログは
γ(x)=lim(ζ(s,x)-1/(s-1))
であるが,レルヒによって
γ(x)=-Γ’(x)/Γ(x)=(-logΓ(x))’
という公式が証明されている.
γ=0.577・・・で
tan30°=1/√3=0.57735・・・
にとても近い値をとる.
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さらに
γ(x)=1/x+γ+Σ{1/(x+n)-1/n}
γ’(x)=-1/x^2-Σ(x+n)^2=-ζ(2,x)<0 (単調減少)
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γ(1)=1+γ+{(1/2-1)+(1/3-1/2)+・・・}
=γ=0.577・・・
γ(2)=1/2+γ+{(1/3-1)+(1/4-1/2)+(1/5-1/3)+・・・}
=1/2+γ-(1+1/2)=γ-1=-0.422・・・
一般に
γ(N)=γ-HN-1,
Hn=Σ1/n
H0=0,H1=1,H2=3/2,H3=11/6,・・・
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