■フルビッツのゼータ関数(その30)

 フルビッツのゼータ関数に対するオイラーのガンマ定数γアナログは

  γ(x)=lim(ζ(s,x)-1/(s-1))

であるが,レルヒによって

  γ(x)=-Γ’(x)/Γ(x)=(-logΓ(x))’

という公式が証明されている.

 γ=0.577・・・で

 tan30°=1/√3=0.57735・・・

にとても近い値をとる.

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 さらに

  γ(x)=1/x+γ+Σ{1/(x+n)-1/n}

  γ’(x)=-1/x^2-Σ(x+n)^2=-ζ(2,x)<0 (単調減少)

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  γ(1)=1+γ+{(1/2-1)+(1/3-1/2)+・・・}

      =γ=0.577・・・

  γ(2)=1/2+γ+{(1/3-1)+(1/4-1/2)+(1/5-1/3)+・・・}

=1/2+γ-(1+1/2)=γ-1=-0.422・・・

 一般に

  γ(N)=γ-HN-1,

  Hn=Σ1/n

  H0=0,H1=1,H2=3/2,H3=11/6,・・・

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