【３】８平方恒等式（デゲン，１８１８年）

任意の２つの８平方和の積はひとつの８平方和として表される。

（ａ0^2＋ａ1^2＋・・・＋ａ7^2）（ｂ0^2＋ｂ1^2＋・・・＋ｂ7^2）＝

（a0ｂ0-a1b1-a2b2-a3b3-a4b4-a5b5-a6b6-a7b7)^2

+Σ(a0b1+a1b0+a2b4+a3b7-a4b2+a5b6-a6b5-a7b3)^2

ここで、Σは0を不変のままとして、1,2,3,4,5,6,7を巡回置換させたものとして書き下すことができる

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[参] Coxeter, Integral Cayley Numbers

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八元数を

a0+a1e1+a2e2+a3e3+a4e4+a5e5+a6e6+a7e7

er^2=-1

er+1er+3=er+2er+6=er+4er+5=er

er+3er+1=er+6er+2=er+5er+4=-er

er+7=er

とする。

er^2=e1e2e4=e2e3e5=e3e4e6=e4e5e7=e5e6e1=e6e7e2=e7e1e3=-1

はファノ平面上に置くことができる

e2e4=-e4e2=e1,e4e1=-e1e4=e2,e1e2=-e2e1=e4

(12)(36),(1234567)の168通りの順列が生ずる

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