たとえば，ｘ^5−１＝０は，

　　（ｘ−１）（ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１）＝０

と因数分解されますから代数的に解けます

　ｎ次の円分方程式：

　　ｘ^n−１＝０

は何次でも代数的に解けます（ｆ（ｘ）はＱ上既約でない）

それでは円分多項式方程式

　　ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１はＱ上既約でしょうか？

　　ｘ^16＋x^15＋・・・＋ｘ＋１＝０はＱ上既約でしょうか？

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一般に

Φ(x)=(x^p-1)/(x-1)=x^p-1+x^p-2+・・・+x+1

について考えてみますが、Φ(x)がＱ上既約ならばΦ(x+1)もＱ上既約ですから、Φ(x+1)がＱ上既約であることが示せればよい。

Φ(x+1)={(x+1)^p-1}/x

(x+1)^p=(p,0)+(p,1)x+(p,2)x^2+・・・+(p,p-1)x^p-1+(p,p)x^pより

Φ(x+1)={(x+1)^p-1}/x=p+(p,2)x+・・・+px^p-2+x^p-1

ここで、i≠0,i≠pのとき(p,i)はｐで割り切れる。

したがって、Φ(x+1)は定数項からp-2次の係数までｐで割り切れ、最高次数は1（ｐで割り切れない）、また定数項はｐ（ｐ^2で割り切れない）ないから、Ｑ上既約であることがガウスによって証明されたのです。

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ガウスは，この考察から正１７角形の作図可能性をも発見しました．２次方程式の解ならコンパスと定規で作図可能なのですが，１６次方程式：

　　ｘ^16＋x^15＋・・・＋ｘ＋１＝０

は２次方程式に分かれてしまうので，正１７角形は作図可能なのです．

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