【1】2^m元ガロア体の原始多項式
m=4の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、
m=2の場合、π(x)=1+x+x^2
m=3の場合、π(x)=1+x+x^3
m=4の場合、π(x)=1+x+x^4
m=5の場合、π(x)=1+x^2+x^5
m=6の場合、π(x)=1+x+x^6
を用いることによって実現される。
1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される
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GF(2^4)の生成では
π(x)=1+x+x^4
の原始元x=αを利用することによって、位数16の有限体
{0,α^0,α^1,α^2,・・・,α^14}、α^15=α^0=1
を生成した。異なる原始元はいくつあるのだろうか?
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α^nは(n,15)=1のときに限って原始元になるので、φ(15)=8である。
すなわち、α^2,α^4,α^7,α^8,α^11,α^13,α^14は他の原始元である。
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一般にGF(p^m)の元α^nの位数は(p^m-1)/((n,p^m-1)である。
α^3,α^6,α^9,α^12は位数5
α^5,α^10は位数3をもつ。
位数Tをもつ元の個数はφ(T)であり、Tはp^m-1の約数でなければならない。
T=1の元は一つだけであって、α^0=1だけである。
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GF(3^3)の生成では
π(x)=1+2x+x^3
の原始元x=αを利用することによって、位数27の有限体
{0,α^0,α^1,α^2,・・・,α^25}、α^26=α^0=1
を生成した。異なる原始元はいくつあるのだろうか?
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α^nは(n,26)=1のときに限って原始元になるので、φ(26)=12である。
α^3,α^5,α^7,α^9,α^11、α^15,α^17,α^19,α^21、α^23、α^25は他の原始元である。
α^2,α^4,α^6,α^8,α^12、α^14,α^16,α^18,α^20,α^22、α^24のうち
α^2,α^4,α^6,・・・は位数13
α^13は位数2をもつ。
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