7つの要素をもつ有限体F7={0,1,2,3,4,5,6}を考えてみよう。
7の倍数となる差を無視する。3=10=-4,-1=6
5+4=2
3-6=4
2・4=1
しかし、除算はどうなるのだろうか?
たとえば、1/2=?
2倍して1になる数は何か?
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1/n=n^5
である。したがって、1/2=2^5=32=4
1/4=2,3/2=3・4=5であることがわかる。
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同様に
1/3=3^5=5
1/5=3
1/6=6^5=6=-1・・・6はそれ自身の逆数である
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元{0,1,2}からなるガロア体GF(3)では加算、減算、乗数、0を除く除算が定義され、
交換法則、分配法則、結合法則にしたがう。
1+2=0,1-2=2,2・2=1,1/2=2
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f(x)=x^3-2x-a,a<Z7はaがどのような場合に既約になるか?
f(0)=-a・・・aは0ではない
f(1)=-1-a・・・aは6ではない
f(2)=4-a・・・aは4はない
f(3)=21-a=-a・・・aは0ではない
f(4)=56-a=-a・・・aは0ではない
f(5)=115-a=3-a・・・aは3ではない
f(6)=204-a=1-a・・・aは1ではない
a=2,5
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